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ㆍ작성자
ㆍ작성일	2005/10/26
ㆍ분 류	원리&현상

ㆍ추천: 0 ㆍ조회: 2715

63빌딩에서의 개미 낙하 실험 및 계산
1. 공기의 저항이 없다고 가정했을 때 속도?

63빌딩의 높이는 249m입니다. 이 높이에서 자유낙하 했을 때 지상에 떨어지는 순간의 속도는

==> v^2 = 2gh ==> v^2 = 4880.4 ==> v = 69.86 m/s = 251.5km/hour

즉, 공기저항을 고려하지 않았을 때 개미는 지상에 시속 251km의 속도로 부딪힙니다.(계산은 해 보지 않았지만 이 정도의 속도로 부딪힌다면 개미가 아무리 키틴질의 갑옷으로 둘러 쌓여 있다 하더라도 아작이 날겁니다.

2. 공기의 저항을 고려한다면?

일단 중력과 공기의 저항력이 평행을 이루는 속.도.를 구해야 합니다.
그런데 개미의 질량, 개미가 떨어질때의 단면적 등은 실제로 재보지 않고는 잘 모릅니다. 그래서 여기서 한가지 가정을 합니다.

개미의 길이는 사람의 1/100인 1.75cm라고 가정을 하고

개미의 비중과 사람의 비중은 같다.

개미의 길이에 대한 단면적의 비는 사람과 같다고 가정을 하겠습니다.

그럼 사람의 경우 키는 175cm, 70kg라 하고 사람이 큰 대자로 펼쳤을 때 단면적을 175cm*38cm의 직사각형과 같다(어깨 부분은 38cm이 넘는데 반해 머리나 또는 다리부분은 38cm이 되지 않아 전체적으로 이 정도의 단면적을 가지는 것으로 가정을 했습니다.)

그럼 개미는 키는 1.75cm, 그 질량은 70kg*10^-6 = 7*10-5kg(길이가 1/100이니 체적이나 질량은 10^-6이 되고 표면적이나 단면적은 10^-4이 됩니다.) 그럼 단면적은 175cm*38cm*10^-4 = 6.65*10-5 m^2

* 계산의 편의를 위해 모든 단위계는 MKS단위계로 통일합니다.

자 위의 조건에서 중력과 평형을 이루는 공기저항의 속도를 구합니다.

중력 = mg,

공기의 저항력 = 동압력 * 단면적 = Cd*로우*v^2*단면적/2

(Cb = 항력계수, 로우 = 공기의 밀도, v = 속도인데 편의상 항력계수는 1정도로 잡겠습니다. 무리하지 않은 정도의 수입니다.)

둘을 같게 놓습니다. mg = 로우*v^2*단면적/2

7*10^-5*9.8 = 1.3*v^2*6.65*10-5/2

==> v^2 = 15.9, v = 3.984 m/s 또는 13.34km/hour

자! 2의 계산의 결과가 1의 계산의 결과보다 훨 적게 나왔죠? 이것은 무었을 의미하느냐 하면 개미를 63빌딩 위에서 떨어뜨렸을 때 속도가 13.34km/hour가 되기 전까지는 계속 증속을 하다가 속도가 13.34km/hour에 도달하면 공기의 저항력이 중력과 같아져 더 이상의 속도가 붙지 않고 동일한 속도로 떨어진다는 겁니다.

* 여기서 잠깐 위의 계산 결과가 맞는지 일단 검증을 해보겠습니다.

사람의 경우 저항을 최소화하여 머리부터 떨어지는 경우에는 시속 220km까지 나오지만 사지를 활짝 펴고 스카이다이버 자체로 저항을 최대화하여 자유낙하하면 150km정도 나온다고 합니다.

그럼 위의 식을 동원하여 저항최대화시 자유낙하속도를 구해 보겠습니다.

mg=로우*v^2*단면적/2

==> 70g = 1.3*v^2*0.665/2 ==> v = 39.84m/s, 또는 143.42km/hour

실제 떨어질때의 속도로 알려진 150km/h와 계산한 속도 143.42km/h와 큰 차이가 없죠??? 결국 개미의 속도로 계산한 것이 신뢰할 수 있는 정도는 된다는 겁니다.(계산에서 차이가 난 것은 단면적의 크기와 항력계수를 1로 잡은 것에 따른 오차입니다.)

여기서 중간결론을 냅니다.

개미는 63빌딩 아니라 63빌딩 할아버지 빌딩에서 떨어지더라도 지상에 부딪힐 때는 3.984 m/s 또는 13.34km/hour의 속도 이상 나오기 어렵습니다. 이 정도의 속도로 지상에 부딪힌다면 사람도 다치기는 하지만 죽을 정도는 아닐 겁니다.

그럼 개미는 어떨까요...

개미는 사람의 뼈구조와는 다른 키틴질의 갑옷으로 둘러쌓여 있습니다.(키틴질이 단단한지 사람의 뼈구조가 단단한지에 대해서는 여러가지 의견이 있습니다. 동일한 체적과 질량이라면 뼈구조가 더 단단한 것으로 알려져 있는데 여기서 그것까지 설명하기에는 너무 글이 길어지니 일단은 뼈구조와 동일한 수준의 충격흡수력을 가진다고 가정하겠습니다.)

개미가 사람과 동일한 정도의 충격흡수 구조를 가진다면 실제로 개미는 사람에 비해 100배 이상의 충격흡수력을 가지게 됩니다.

왜냐하면 사람과 개미의 길이비가 1/100이라고 할때 떨어지는 충격은 10^-6이고 충격에 견딜수 있는 충격흡수력(단면에 비례) 10^-4이 됩니다.

즉 개미는 사람에 비해 1/10000배의 충격흡수력을 갖는데 비해 실제 충격은 1/1000000배 밖에는 받지 않기 때문에 결과적으로 개미는 사람에 비해 100배의 충격을 흡수할 수 있는 것입니다.

결론

1. 63빌딩 위에서 개미를 떨어뜨린다면 시속 13.34km의 속도로 지상에 부딪힌다.

2. 사람보다 100배의 충격흡수력을 가진 개미가 시속 13.34km의 속도로 지상에 부딪힌다면.... 껍질에 페인트도 벗겨지지 않는다.

* 결국 사람으로 얘기하면 시속 133.4m(초속 3.7.cm)의 속도로 땅에 부딪히는 정도인데 계산을 해보니 이 속도는 0.0070057cm의 높이에서 떨어지는 속도와 같군요...